ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

A B Cの３点を通る平面αの法線ベクトルは

$\begin{aligned}\overrightarrow {AB}\times \overrightarrow {AC}=\left( \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix},\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 4 \end{vmatrix},\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 4 & -1 \end{vmatrix}\right)  =\left( 3,6,-6\right) =3\left( 1,2,-2\right) \end{aligned}$

平面αの式は（２,２,３）を通るので

$\left( x-2\right) +2\left( y-2\right) -2\left( z-3\right) =0\ldots \left( 1\right)$

点（９,１,１）を通って、平面αと直交する直線をｎとするｎの直線の方程式は

$\dfrac {x-9}{1}=\dfrac {y-1}{2}=\dfrac {z-1}{-2}\ldots \left( 2\right)$となる。

直線ｎと平面αとの交点Hを求める

$\left( 2\right) =t$をおくと

$H\left( t+9,2t+1,-2t+1\right)$となり、これを（１）式に代入すると

$\begin{aligned}\left( t+7\right) +2\left( 2t+1-2\right) -2\left( -2t-2\right) =0\\ t=-1\end{aligned}$

したがって点H（８,－１,３）

（９,１,１）に対称な点を（X,Y,Z）とおけば

$\left( \dfrac {9+X}{2},\dfrac {1+Y}{2},\dfrac {1+Z}{2}\right) =\left( 8,-1,3\right)$

X=７　　Y=-3　　Z=5

$\left( 7,-3,5\right)$・・・答え