ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

 

次の微分方程式で、初期条件がx=１のとき、y=1/2　を満たすものを求める。

 

 

$\left( 3x-y\right) \dfrac {dy}{dx}=2x$

 

 

 

 

 

この微分方程式を変形すると、

 

 

$\dfrac {dy}{dx}=\dfrac {2x}{3x-y}=\dfrac {2}{3-\dfrac {y}{x}}$

 

 

$\dfrac {y}{x}=u$とおくと、$y=ux+\dfrac {dy}{dx}=\dfrac {du}{dx}x+u$

 

 

 

$\dfrac {du}{dx}=\dfrac {2}{3-u}-u=\dfrac {u^{2}-3u+2}{3-u}=\dfrac {\left( u-1\right) \left( u-2\right) }{3-u}$

 

 

$\dfrac {3-u}{\left( u-1\right) \left( u-2\right) }du=\dfrac {1}{x}dx$

 

 

 

$\left( \dfrac {1}{u-2}-\dfrac {2}{u-1}\right) du=\dfrac {1}{x}dx$

 

 

両辺を積分すると

 

 

$\log _{e}\left( u-2\right) -2\log _{e}\left( u-1\right) du=\log _{e}x+C$（Ｃは積分定数）

 

 

$\dfrac {u-2}{\left( u-1\right) ^{2}}=Ax$（$A＝e^{Ｃ}$）

 

 

 

両辺をxで割ると

 

 

 

$\dfrac {x\left( u-2\right) }{x^{2}\left( u-1\right) ^{2}}=A$

 

 

 

$y-2x=A\left( y-x\right) ^{2}$　　　　( y=uxより)

 

 

 

初期条件より

 

 

$x=0,y=\dfrac {1}{2}\Rightarrow \dfrac {1}{2}＝\dfrac {A}{4}\Rightarrow A=2$

 

 

 

$y-2x=2\left( y-x\right) ^{2}$・・・答え