ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

 

 

$\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}+4y=\sin 2x$　この微分方程式を解く。

 

 

 

 

 

 

 

$\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}+4y=\sin 2x$・・・①

 

 

同伴方程式は　$y''+4y=0$・・・②

 

 

この特性方程式を解くと

 

 

 

$\lambda ^{2}+4=0\Rightarrow \lambda=\pm 2i$

 

 

 

②の一般解は

 

 

$y=C_{1}\cos 2x+C_{2}\sin 2x$  となる。

 

 

 

 

 

演算子による解法

 

①の特殊解は演算子Dを使って求める。

 

 

$y_{0}=\dfrac {1}{D^{2}+4}\sin 2x$

 

 

 

公式  $\dfrac {1}{D^{2}+\alpha ^{2}}\sin \alpha x=-\dfrac {1}{2\alpha }x\cos \alpha x$を使って

 

 

$y_{0}=-\dfrac {1}{2\cdot 2}x\cos 2x=-\dfrac {1}{4}x\cos 2x$

 

 

したがってｙ＝一般解＋特殊解なので

 

 

$y=C_{1}\sin 2x+C_{2}\cos 2x-\dfrac {1}{4}x\cos 2x$

 

 

$y=C_{1}\sin2x+\left( C_{2}-\dfrac {x}{4}\right) \cos 2x$・・・答え

 

 

 

参考事項

 

上で使った演算子の公式の説明

 

 

時間がなく、答えのみ要求される１次試験では、演算子を使って微分方程式を解くのが有効である。（他の方法より計算が楽で速くできる）

 

 

$\left( D^{2}+\alpha ^{2}\right) x\cos \alpha =D^{2}\left( x\cos \alpha x\right) +\alpha ^{2}x\cos \alpha$

 

 

$=\left( \cos \alpha x-\alpha \sin x\right) ^{'}+d^{2}_{\cdot }x\cos \alpha x$

 

 

$=-\alpha \sin \alpha x-\left( \alpha \sin \alpha x+\alpha ^{2}x\cos \alpha x\right)+\alpha ^{2}x\cos \alpha x=-2\alpha \sin \alpha x$

 

 

$x\cos \alpha x=\dfrac {1}{D^{2}+\alpha ^{2}}\left( -2\alpha \cdot \sin \alpha x\right)$

 

 

したがって次の公式が証明できる。

 

 

公式  $\dfrac {1}{D^{2}+\alpha ^{2}}\sin \alpha x=-\dfrac {1}{2\alpha }x\cos \alpha x$