ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

 

 

つぎの微分方程式の解のうち、初期条件「ｘ＝３のときｙ＝３」を満たすものを解く。

[math]\left( 2x+y+3\right) +\left( 2x+y+6\right) \dfrac {dy}{dx}=0[/math]

 

 

 

 

 

 

[math]\left( 2x+y+3\right) +\left( 2x+y+6\right) \dfrac {dy}{dx}=0[/math]より

 

 

 

[math]\dfrac {dy}{dx}=-\dfrac {2x+y+3}{2x+y+6}\ldots \left( 1\right)[/math]

 

 

 

[math]2x+y=u\ldots \left( 2\right)[/math]

 

 

として、（２）の両辺をｘで微分すると

 

 

 

[math]2+\dfrac {dy}{dx}=\dfrac {du}{dx}\Rightarrow \dfrac {dy}{dx}=\dfrac {du}{dx}-2\ldots \left( 3\right)[/math]

 

 

 

（１）を（２），（３）に代入して

 

 

[math] \dfrac {du}{dx}-2=-\dfrac {u+3}{u+6},\dfrac {du}{dx}=\dfrac {u+9}{u+6}[/math]

 

 

 

[math] \int \dfrac {u+6}{u+9}du=\int \left( 1-\dfrac {3}{u+9}\right) du=\int dx[/math]

 

 

 

[math]u-3\log _{e}\left| u+9\right| =x+C[/math]

 

 

（２）より

 

 

[math]2x+y-3\log _{e}\left| 2x+y+9\right| =x+C[/math]

 

 

 

[math]\log _{e}\left| 2x+y+9\right| =\dfrac {x+y}{3}-\dfrac {C}{3}[/math]

 

 

 

[math]2x+y+9=\pm e^{\dfrac {x+y}{3}-\dfrac {C}{3}}[/math]

 

 

 

[math]2x+y+9=A\cdot e^{\dfrac {x+y}{3}}[/math] [math]( \pm e^{-\dfrac {C}{3}}= A)[/math]

 

 

 

ｘ＝３のときｙ＝３なので

 

 

 

[math]-6+3+9=A\cdot e^{\dfrac {-3+3}{3}}=A\Rightarrow A=6[/math]

 

 

 

[math]2x+y+9=6e^{\dfrac {x+y}{3}}[/math]・・・答え