ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

 

 

eを自然対数の底とします、このとき、複素数ｚに対し、指数関数$e^{z}$を

$e^{z}=\sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac {1}{n!}z^{n}$と定義し、

ｚの正弦sin zを$\sin z=\dfrac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$と定義します。

 

 

このときｚを複素数とする方程式

sin z＝２・・・（A)　　　について次の問に答えなさい。

 

 

①　方程式（A)に対し、$\omega=e^{z}$とおくときにできる方程式は$\dfrac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=２$

 

 

のωに関する複素数解を求めなさい。

 

 

②　方程式（A)の解のうち、実数部分が０以上２π未満であるもの求めなさい。

 

 

 

 

 

 

 

①

 

$\dfrac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=２$を変形して

 

 

$\omega-\dfrac {1}{\omega}=4i\Rightarrow \omega^{2}-1=4i\omega \Rightarrow \omega^{2}-4i\omega-1=0$

 

 

となる。これを２次方程式として解くと

 

 

$\omega=2i\pm \sqrt {\left( 2i\right) ^{2}+1}=2i\pm \sqrt {3}i=\left( 2\pm \sqrt {3}\right) i$

 

 

 

$\omega=\left( 2\pm \sqrt {3}\right) i$・・・①の答え

 

 

 

②

 

①より$\left( 2\pm \sqrt {3}\right) i=e^{iz}$

 

 

ｚ＝ｘ＋iｙとすると、題意より実数部分ｘが０以上２π未満なる。・・・（B)

 

 

 

また、$e^{i\left( x+iy\right) }=e^{ix}\cdot e^{-y}=\left( 2\pm \sqrt {3}\right) i$なので           

 

 

 

 

$e^{ix}=i\rightarrow \cos x+i\sin x=i$より

 

 

 

 

$x=\dfrac {\pi }{2}$（（B)の条件の範囲より）・・・（C)となる。

 

 

また実数の方は

 

 

 

$e^{-y}=2\pm \sqrt {3}$・・・（D)

 

 

 

 

 

 

（C)（D)より　　$y=-\log _{e}\left( 2\pm \sqrt {3}\right)，x=\dfrac {\pi }{2}$

 

 

したがって

 

 

$z=\dfrac {\pi }{2}-i\log _{e}\left( 2\pm \sqrt {3}\right)$・・・②の答え