ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

類題

[math]ｘ＝x\left(t\right),y=y\left( t\right)[/math]のとき，次の連立微分方程式を

初期条件[math]x\left( 0\right) =5,y\left( 0\right) =2[/math]の下で解きなさい。

[math]\begin{cases}\dfrac{dx}{dt}=3x-4y\ldots \left( 1\right) \\ \dfrac{dy}{dt}=x-2y\ldots \left( 2\right) \end{cases}[/math]

(1)より[math]y=\dfrac{1}{4}\left( 3x-\dfrac{dx}{dt}\right)[/math]

両辺ｔで微分すると

[math]y'=\dfrac{1}{4}\left( 3x'-\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}\right)[/math]

これを（２）に代入すると

[math]\dfrac{1}{4}\left( 3x'-\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}\right)=x-\dfrac{2}{4}\left( 3x-\dfrac{dx}{dt}\right)[/math]となる。

[math]\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}-\dfrac{dx}{dt}-2x=0[/math]

この式の特性方程式は

[math]\lambda ^{2}-\lambda -2=\left( \lambda +1\right) \left( \lambda -2\right)[/math]

[math]\lambda =-1,2[/math]

よって一般解は[math]x=C_{1}e^{-t}+C_{2}e^{2t}[/math]・・・（３）であらわせる。

この一般解を（１）に代入する。

[math]-C_{1}e^{-t}+2C_{2}e^{2t}=3\left(C_{1}e^{-t}+C_{2}e^{2t}\right) -4y[/math]

[math]y=C_{1}e^{-t}+\dfrac{C_{2}e^{2t}}{4}[/math]・・・（４）

（３），（４）と初期条件[math]x\left( 0\right) =5,y\left( 0\right) =2[/math]より

[math]C_{1}+C_{2}=5,C_{1}+\dfrac{C_{2}}{4}=2[/math]

これを解いて

[math]C_{1}=1,C_{2}=4[/math]

求める解は

答　[math]x=e^{-t}+4e^{2t}[/math]　　　[math]y=e^{-t}+e^{2t}[/math]