積分６の解説

$\int ^{1}_{-1}\dfrac {x^{4}+2x^{3}+4x^{2}+6x+2}{x^{3}+2x^{2}+2x+4}dx$ 　を計算する。

$\int ^{1}_{-1}\dfrac {x^{4}+2x^{3}+4x^{2}+6x+2}{x^{3}+2x^{2}+2x+4}dx=\int ^{1}_{-1}\left( x+\dfrac {2x^{2}+2x+2}{x^{3}+2x^{2}+2x+4}\right) dx$

ここで

$\left( x^{3}+2x^{2}+2x+4\right) '=3x^{2}+4x+2$ 　

$x^{3}+2x^{2}+2x+4=\left( x+2\right) \left( x^{2}+2\right)$ 　であることを確認する。

$=\int ^{1}_{-1}xdx+\int ^{1}_{-1}\dfrac {\left( x^{3}+2x^{2}+2x+4\right) '-\left( x^{2}+2x\right) }{x^{3}+2x^{2}+2x+4}dx$

$=0+\left[ \log _{e}\left( x^{3}+2x^{2}+2x+4\right) \right] ^{1}_{-1}-\int ^{1}_{-1}\dfrac {x}{x^{2}+2}dx$

$=\log _{e}9-\log _{e}3-\dfrac {1}{2}\left[ \log _{e}\left( x^{2}+2\right) \right] ^{1}_{-1}$

$=2\log_{e}3-loge_{e}3-0=\log _{e}3$

$\log _{e}3$ ・・・答え

同じカテゴリー「数検1級の積分」の一覧

$\int ^{1}_{-1}\dfrac {x^{4}+2x^{3}+4x^{2}+6x+2}{x^{3}+2x^{2}+2x+4}dx$ 　を計算する。 &nbs […]

積分５の積分

次の問いに答えなさい。 $\int ^{\dfrac {\pi }{2}}_{0}\sqrt {\tan x}dx$ &n […]

①　次の不定積分を求める、ただし　（ $-\dfrac {\pi }{2}\leqq \sin ^{-1}x\leqq \dfrac {\pi }{2}$ ）を条件とす […]

$\int ^{1}_{-1}\sqrt {\dfrac {1+x}{1-x}}dx$ の広義積分を計算する。本当は広義積 […]

$\int ^{\infty }_{0}\dfrac {1}{\left( x^{2}+1\right) ^{4}}dx$ を求める。　 […]