ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

次の計算をしなさい。ただし、iは虚数単位を表します。

[math]\dfrac {\left( 1-i\right) ^{11}}{\left( -\sqrt {3}+i\right) ^{6}}[/math]

[math]\left( 1-i\right) =\sqrt {2}\left( \dfrac {1}{\sqrt {2}}-\dfrac {1}{\sqrt {2}}i\right) =\sqrt {2}e^{-\dfrac {\pi }{4} i }[/math]

[math]\left( 1-i\right) ^{11}= \left( \sqrt {2}\right) ^{11}e^{-\dfrac {11\pi i }{4}}= 2^ {5} \sqrt {2}e^{-\dfrac {3}{4}\pi i }[/math]・・・①

[math]\left( -\sqrt {3}+i\right) =2\left( -\dfrac {\sqrt {3}}{2}+\dfrac {i}{2}\right) =2e^{\dfrac {5}{6}\pi i }[/math]

[math]\left( -\sqrt {3}+i\right) ^{6}=2^{6}\cdot e^{5\pi i}=2^{6}\cdot e^{\pi i}[/math]・・・②

①②より

[math]\dfrac {\left( 1-i\right) ^{11}}{\left( -\sqrt {3}+i\right) ^{6}}[/math]

[math]=\dfrac {2^ {5} \sqrt {2}e^{-\dfrac {3}{4}\pi i }}{2^{6}e^{\pi i}}=\dfrac {e^{-\dfrac {7}{4}\pi i}}{\sqrt {2}}=\dfrac {e^{\dfrac {\pi }{4}i}}{\sqrt {2}}=\dfrac {1+i}{2}[/math]

[math]\dfrac {1+i}{2}[/math]　・・・答え