ここで勉強すれば数学検定１級の壁は超えられるか。

[math]x=2\cos \dfrac {2}{7}\pi[/math]　を零点にもつ有理数係数の多項式P（ｘ）のうち、次数が最小かつ最高次の係数が１であるものを求める。

[math]z=\cos \dfrac {2}{7}\pi +i\sin \dfrac {2}{7}\pi[/math]とすると

[math]z^{7}-1=0\Rightarrow \left( z-1\right) \left( z^{6}+z^{5}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1\right)[/math]

[math]z\neq 1[/math]　なので

[math] \left( z^{6}+z^{5}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1\right)=0[/math]　となる。

また、

[math]z^{6}=\overline {z},z^{5}=\overline {z^{2}}=\overline z^{2},z^{4}=\overline {z^{3}}=\overline z^{3}[/math]であるから

[math]\left( z^{6}+z\right) +\left( z^{5}+z^{2}\right) +\left( z^{4}+z^{3}\right) +1[/math]

[math]=\left( \overline {z}+z\right) +\left( \overline z^{2}+ z^{2}\right) +\left( \overline z^{3}+z^{3}\right) +1=0[/math]

ここで  [math]z+\overline {z}=\cos \dfrac {2}{7}\pi +i\sin \dfrac {2}{7}\pi +\cos \dfrac {2}{7}\pi-i\sin \dfrac {2}{7}\pi =2\cos \dfrac {2}{7}\pi[/math]

[math]\left( z+\overline {z}\right)=2\cos \dfrac {2}{7}\pi=x[/math]とおくと([math]z\overline {z}=1[/math]　より）

[math]\left( \overline {z}+z\right) +\left( \overline z^{2}+ z^{2}\right) +\left( \overline z^{3}+z^{3}\right) +1=x+\left( x^{2}-2\right) +\left( x^{3}-3x\right) +1=0[/math]

[math]x^{3}+x^{2}-2x-1=0[/math]

[math]x^{3}+x^{2}-2x-1[/math]・・・答え